2016年2月23日火曜日

畳み込み積分の分かりやすい説明(Google検索から)とデジカメ光学処理等への応用

畳み込み積分の分かりやすい説明を見つけました。(Google検索から）

たたみこみ（合成積(Convolution)）
(Google検索から）東北工業大学 情報通信工学科　(C)中川朋子さん






























このようなわかりやすい解説を見たのははじめてです。大変すばらしいと思います。
僕なりに解釈すると、
畳み込み積分とは、生まれてから今までの恨みつらみ感情の集積具合を、過去から現在まで起こった（辛い）事件その時の辛さを表す”事件重み関数”と、これまでの人生経験を経過時間と共に忘れる自分の”性格的忘却関数”として、それぞれ”事件重み関数”と”忘却関数の積”で、積算する”人生全体の人生観/感情を求める計算方法”と解釈しました。
デジタル信号処理にも、入力信号
x(n)=Σ(k=−∞〜∞)x(k)*δ(n-k)  {δ(k)はインパルス関数}
という畳込み積分にそっくりの式が出てきてその意味を悩んでいたので、一つの前進です。
(この式は、離散信号システム(Discrete-Time System))で、入力信号x[n]のインパルス応答を、畳み込み演算するもので、連続信号システム(Continuous-Time System)の畳み込み積分と対応する概念のようです。日本のデジタル信号処理の教本では、畳み込み積分やCT-Systemが未説明の状態、意味不明のまま、この式がいきなり現れるので全く意味がつかめないのですが、順序立てて分かりやすく説明されている講座があるのを知りました。
参考資料[1])

学校の数学では機械的な計算方法そのものしか教えてくれないので、応用しようとすると未だに困ることが多いです。

 参考資料：
[1] Signals and Systems 6.003 Fall, 2011 : Convolution (Lesson 8) , Prof. Dennis Freeman (Recommended) /US
[2] Exploration of the Convolution Accumulation Applet (Copyright by Prof MIT OCW (Recommended) /US
      https://www.youtube.com/watch?v=JbuG6u2ko_0&feature=youtu.be

追記：
2016/2/25
時間関数式x1(t),x2(t)と、これらをラプラス変換した関数 X1(s), X2(s)に対し、
x1(t),x2(t)の畳み込み積分式にラプラス変換を施すと、X1(s)X2(s)(積) となることが分かりました。
Laplace{∫x1(τ)x2(t-τ)dτ}=X1(s)X2(s)　（τ : -∞〜∞ ）
（この物理的意味は現在調査中。）
(畳み込み積分(Convolution)の計算は、時間領域:t[s]で、遅れ時間τ[s]を伴う畳み込み積分というめんどうくさい計算が、ラプラス変換領域(s=δ+jω, exp(st)=exp(δt)*exp(jωt))なるs領域では、時間の関数x1(t),x2(t)の畳み込み積分が、x1(t),x2(t)をそれぞれラプラス変換したX1(s),X2(s)について、X1(s)X2(s)の単なる掛け算になる、という意味。）

 2016/3/4
畳み込み積分は、DT system(Discrete Time System)の信号処理でどうしても必要な演算で、今後も重要な技術のようです。
CCD顕微鏡の光学補正、デジタル宇宙望遠鏡、地上大型望遠鏡の大気ゆらぎ補正信号処理にこの畳み込み積分のデジタル信号処理が使われているそうです。詳細は必要により調査願います。
（ハッブル宇宙望遠鏡のサイトで何かわかるかもしれません。）

 2016/3/7
畳み込み演算は、既に画像処理で広く使われており、デジカメにも使われていることがわかりました。
カメラの画像処理は、CPU Power または GPU をうまく使うわないと、低速のものでは性能が出せないかもしれません。以下、応用３例の資料。

 デジタルカメラはレンズ、撮像部、画像処理エンジンを主要部品 ... 1．1 デジタルカメラの構成. 光学ビュー. ファインダー. 画像処理. エンジン. 液晶. モニタ. メモリカード. 撮像素子. カラーフィルタ .... 線形空間フィルタは入力画像とフィルタ係数の畳み込みである。
デジカメ、ビデオカメラも途中までは同類。 ・メカトロは「自動で認識、判断」必須。 ←人間に遠く及ばない. カメラ. 画像処理. 認識判断 .... C10 カメラと画像処理の基礎. 基礎からのメカトロニクスセミナー. 近傍画素の処理：たたみ込みフィルタ. ○ たたみ込み演算.
犬. 猫. 不動産. 情報世界対象. 数値. 文字. 図形. グラフ. 木構造. 関係・相互作用. 計算・処理. 変化のモデル化. シミュレーション. 予測 ... 出力. ≠入力. との畳み込み. による歪み. 画像の場合… 逆フィルタ. 理想的な画像. 劣化画像. ピンボケ. = 2次元ガウス関数 ...
国内研究機関で使われているデジタル顕微鏡に、単焦点方式で、焦点距離をずらすとピントがボケる現象が出ているものがあり、光学補正処理が3D画像として処理できていないものがありました。

 2016/9/24
参考資料[2] 畳み込み演算の計算方法例の説明追記　入力関数=cos(x)+1, 重み関数 =exp(-at)
[2] MIT OCW
"Exploration of the Convolution Accumulation Applet"　(Copyright by MIT OCW /US)

2016/7/31 

畳み込み積分の演算は、送信機のSSB変調回路/機能で、ベースバンド信号の直交関数信号を得る目的に応用できることが分かりました。(ヒルベルト変換と呼ばれる演算と等値)


SDR方式:　理解困難、わかりにくいヒルベルト変換説明

http://ji1nzl-official.blogspot.jp/2016/06/sdr.html

2017/9/10 畳み込み積分(時刻t領域)は、ラプラス変換領域(s領域)で簡単な掛け算になることを追記

※特記事項
インターネットの制御理論の入門サイトで、「s領域を"複素数領域"」と、誤った説明をしていることがわかりました。
s=δ+jωで、変数sは複素数ですが、s領域は複素領域とは定義されず、”ラプラス変換関数領域 exp(st)=exp(δt)*exp(jωt)” で定義しないと、話がおかしくなっています。
s平面では、横軸をδ(利得), 縦軸をjω(複素周波数)にとって、伝達関数W(s)の極や周波数、利得を、ナイキスト線図で描くのがわかりました。その制御理論の入門サイトは、ネット検索で最上位にリストされてくるので要注意です。信じると、多くの時間を無駄にします。
制御理論の教科書を買うのが安全です。

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